공리 : 증명 없이 참으로 받아들이는 명제
무정의 용어 : 정의 없이 사용하는 용어
수학에는 시간이 지나면서 공리 중 증명이 가능하여 수학의 근간을 뒤흔드는 일이 자주 있었다.
대표적으로는 괴델의 불완전성 정리가 있으며 이를 통해 앨런 튜링은 튜링 머신을 개발하기도 하였다. 이처럼 수학은 생각보다 완전하거나 무결하지 않다.
⇒ 수학은 완전하지도 무결하지도 않다.
오늘의 본론인 집합에 대해서 알아보자.
집합은 수학의 부족한 부분을 명백하게 해주고 이론을 확장시켜 일반화시키는 일을 하는 수학체계의 근본적인 역할을 한다. 수학을 배워야 할 가장 기초의 영역이다.
집합은 학창시절에 주로 배우는 소박한 집합론, 현대 사회에서 중요하게 여기는 공리적 집합론 크게 두 분류로 나뉘는데 우리가 필요한 건 현대 집합론의 근간이 되는 공리적 집합에 대해서 조금만 이해해보려고 한다.
무한집합은 고대부터 존재는 했지만 정의하지 못했던 이론 중 하나였는데, 19세기에 이르러 독일의 수학자 데데킨트에 의해서 무한집합이 정리가 된다.
고등학교 때는 무한집합을 유한집합이 아닌 집합이라고 한다. 그럼 유한집합은 무한집합이 아닌 집합이라고 배운다. 이렇게 A → B , B → A로 정의하는 것을 순환 정의라고 하는데 순환 정의는 아무런 의미가 없는 거짓 정의이다. 무한 집합은 그 자체로서 정의되어야 하는 것이 바람직하다.
무한 집합은 원소의 갯수를 일일이 셀 수 없다. 그래서 데데킨트는 “자기자신의 진부분집합과 1:1 대응이 가능한 집합”이라고 정의한다.
진부분집합 : 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합 기호로 표현하면
A ⊂ B이고A ≠ B일 때,A를 B의 진부분집합이라고 한다. (나는진짜 다른 집합의부분집합이에요 라는 뜻)
⇒ 정의는 자체로 정의되어야 하는 것이 바람직하다.